# Simplification of Algebraic Fractions

Simplification of Rational expressions

A rational expression is in the form of $\frac{{\rm{P}}}{{\rm{q}}}$ where, q ≠ 0 .the process of reducing the rational expression into the simplest form is called simplification.

Examples 1
$\frac{{{\rm{a}} - 2{\rm{\: }}}}{{{{\rm{a}}^2} - 2{\rm{a}} + 4{\rm{\: }}}} + \frac{{{\rm{a}} + 2}}{{{{\rm{a}}^2} + 2{\rm{a}} + 4{\rm{\: }}}}{\rm{\: }} + \frac{{16}}{{{{\rm{a}}^4} + 16 + 4{{\rm{a}}^2}}}$

Soln

$\frac{{{\rm{a}} - 2{\rm{\: }}}}{{{{\rm{a}}^2} - 2{\rm{a}} + 4{\rm{\: }}}} + \frac{{{\rm{a}} + 2}}{{{{\rm{a}}^2} + 2{\rm{a}} + 4{\rm{\: }}}}{\rm{\: }} + \frac{{16}}{{{{\rm{a}}^4} + 16 + 4{{\rm{a}}^2}}}$

$= {\rm{\: }}\frac{{\left( {{\rm{a}} - 2} \right)\left( {{{\rm{a}}^2} + 2{\rm{a}} + 4} \right)}}{{{{\rm{a}}^2} - 2{\rm{a}} + 4{\rm{\: }}}}\frac{{ + \left( {{\rm{a}} + 2} \right)\left( {{{\rm{a}}^2} - 2{\rm{a}} + 4} \right)}}{{{{\rm{a}}^2} + 2{\rm{a}} + 4{\rm{\: }}}}{\rm{\: }} + \frac{{16}}{{{{\rm{a}}^4} + 16 + 4{{\rm{a}}^2}}}$

=${\rm{\: }}\frac{{({{\rm{a}}^3} + {\rm{\: }}2{{\rm{a}}^2} + {\rm{\: }}4{\rm{a\: }} - 2{{\rm{a}}^2}{\rm{\: }} - 4{\rm{a\: }} - 8 + {\rm{\: }}{{\rm{a}}^3} - {\rm{\: }}2{{\rm{a}}^2} + {\rm{\: }}4{\rm{a}} + 2{{\rm{a}}^2}{\rm{\: }} - 4{\rm{a}} + 8)}}{{\left( {{{\rm{a}}^2} - 2{\rm{a}} + 4{\rm{\: }}} \right)({{\rm{a}}^2} + 2{\rm{a}} + 4)}}$+ $\frac{{16}}{{{{\rm{a}}^4} + 16 + 4{{\rm{a}}^2}}}$

=$\frac{{2{{\rm{a}}^3} + 16{\rm{\: }}}}{{\left( {{{\rm{a}}^2} - 2{\rm{a}} + 4{\rm{\: }}} \right)({{\rm{a}}^2} + 2{\rm{a}} + 4)}}$

=$\frac{{2\left( {{{\rm{a}}^3}{\rm{\: }} + 8} \right)}}{{\left( {{{\rm{a}}^2} - 2{\rm{a}} + 4{\rm{\: }}} \right)({{\rm{a}}^2} + 2{\rm{a}} + 4)}}$

=$\frac{{2\left( {{\rm{a}} + 2} \right)\left( {{{\rm{a}}^2} - 2{\rm{a}} + 4{\rm{\: }}} \right)}}{{\left( {{{\rm{a}}^2} - 2{\rm{a}} + 4{\rm{\: }}} \right)({{\rm{a}}^2} + 2{\rm{a}} + 4)}}$

$= \frac{{2\left( {{\rm{a}} + 2} \right)}}{{({{\rm{a}}^2} + 2{\rm{a}} + 4)}}{\rm{\: }}$

Examples 2

$\frac{1}{{1 - {\rm{x}}}} + {\rm{\: }}\frac{1}{{{\rm{x}} + 1}} - \frac{2}{{{{\rm{x}}^2} + 1}} + \frac{4}{{1 - {{\rm{x}}^4}}}$

Soln

$\frac{1}{{1 - {\rm{x}}}} + {\rm{\: }}\frac{1}{{{\rm{x}} + 1}} - \frac{2}{{{{\rm{x}}^2} + 1}} + \frac{4}{{1 - {{\rm{x}}^4}}}{\rm{\: }}$

= $\frac{{{\rm{x}} + 1}}{{\left( {1 - {\rm{x}}} \right)}}\frac{{ + {\rm{\: }}1 - {\rm{x}}}}{{\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}} - \frac{2}{{{{\rm{x}}^2} + 1}} + \frac{4}{{1 - {{\rm{x}}^4}}}$

= $\frac{2}{{\left( {1 - {\rm{x}}} \right)}}\frac{1}{{\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}} - \frac{2}{{{{\rm{x}}^2} + 1}} + \frac{4}{{1 - {{\rm{x}}^4}}}$

= $\frac{2}{{1 - {{\rm{x}}^2}}}$ +$\frac{2}{{{{\rm{x}}^2} + {\rm{\: }}1}}{\rm{\: }}$+${\rm{\: }}\frac{4}{{1 - {{\rm{x}}^4}}}$

=$\frac{4}{{1 - {{\rm{x}}^4}}}{\rm{\: }}$+$\frac{4}{{1 - {{\rm{x}}^4}}}$

=$\frac{8}{{1 - {{\rm{x}}^4}}}$

Examples 3

$\frac{{\rm{p}}}{{{\rm{p}} - {\rm{q}}}} + {\rm{\: }}\frac{{\rm{p}}}{{{\rm{p}} + {\rm{q}}}}{\rm{\: }} + \frac{{2{\rm{pq}}}}{{{{\rm{p}}^2} + {{\rm{q}}^2}}}{\rm{\: }} + \frac{{4{{\rm{p}}^3}{\rm{q}}}}{{{{\rm{p}}^4} + {{\rm{q}}^4}}}{\rm{\: }}$

Soln

$\frac{{\rm{p}}}{{{\rm{p}} - {\rm{q}}}} + {\rm{\: }}\frac{{\rm{p}}}{{{\rm{p}} + {\rm{q}}}}{\rm{\: }} + \frac{{2{\rm{pq}}}}{{{{\rm{p}}^2} + {{\rm{q}}^2}}}{\rm{\: }} + \frac{{4{{\rm{p}}^3}{\rm{q}}}}{{{{\rm{p}}^4} + {{\rm{q}}^4}}}{\rm{\: }}$

= $\frac{{{\rm{p}}\left( {{\rm{p}} + {\rm{q}} + {\rm{p}} - {\rm{q}}} \right)}}{{{{\rm{p}}^2} - {{\rm{q}}^2}}}$+ $\frac{{2{\rm{pq}}}}{{{{\rm{p}}^2} + {{\rm{q}}^2}}}{\rm{\: }} + \frac{{4{{\rm{p}}^3}{\rm{q}}}}{{{{\rm{p}}^4} + {{\rm{q}}^4}}}$

= $\frac{{2{{\rm{p}}^2}}}{{{{\rm{p}}^2} - {{\rm{q}}^2}}}$ + $\frac{{2{\rm{pq}}}}{{{{\rm{p}}^2} + {{\rm{q}}^2}}}{\rm{\: }} + \frac{{4{{\rm{p}}^3}{\rm{q}}}}{{{{\rm{p}}^4} + {{\rm{q}}^4}}}$

=${\rm{\: }}\frac{{2{{\rm{p}}^2}\left( {{{\rm{p}}^2} + {{\rm{q}}^2}} \right) + {\rm{\: }}2{\rm{pq}}\left( {{{\rm{p}}^2} - {{\rm{q}}^2}} \right)}}{{{{\rm{p}}^4} - {{\rm{q}}^4}}}$+${\rm{\: }}\frac{{4{{\rm{p}}^3}{\rm{q}}}}{{{{\rm{p}}^4} + {{\rm{q}}^4}}}$

=${\rm{\: }}\frac{{2{{\rm{p}}^4} + 2{{\rm{p}}^2}{{\rm{q}}^2} + {\rm{\: }}2{{\rm{p}}^3}{\rm{q}} - 2{\rm{p}}{{\rm{q}}^3}}}{{{{\rm{p}}^4} - {{\rm{q}}^4}}}{\rm{\: }}$+ $\frac{{4{{\rm{p}}^3}{\rm{q}}}}{{{{\rm{p}}^4} + {{\rm{q}}^4}}}$

=$\frac{{4{{\rm{p}}^7}{\rm{q}}}}{{{{\rm{p}}^8} - {{\rm{q}}^8}}}$

Examples 4

$\frac{{{\rm{m}} + {\rm{n}}}}{{{{\rm{m}}^2} + {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2}}}$+ $\frac{{{\rm{m}} - {\rm{n}}}}{{{{\rm{m}}^2} - {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2}}}$+${\rm{\: }}\frac{{2{{\rm{n}}^3}}}{{{{\rm{m}}^4} - {{\rm{m}}^2}{{\rm{n}}^2}{\rm{\: }} + {{\rm{n}}^4}}}$

Soln

= $\frac{{{\rm{m}} + {\rm{n}}}}{{{{\rm{m}}^2} + {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2}}}$+ $\frac{{{\rm{m}} - {\rm{n}}}}{{{{\rm{m}}^2} - {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2}}}$+${\rm{\: }}\frac{{2{{\rm{n}}^3}}}{{{{\rm{m}}^4} - {{\rm{m}}^2}{{\rm{n}}^2}{\rm{\: }} + {{\rm{n}}^4}}}$

=$\frac{{{\rm{m}} + {\rm{n}}}}{{({{\rm{m}}^2} + {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2})}}$$\frac{{{\rm{m}} - {\rm{n}}}}{{({{\rm{m}}^2} - {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2})}}+{\rm{\: }}\frac{{2{{\rm{n}}^3}}}{{{{\rm{m}}^4} - {{\rm{m}}^2}{{\rm{n}}^2}{\rm{\: }} + {{\rm{n}}^4}}} =\frac{{\left( {{\rm{m}} + {\rm{n}}} \right)({{\rm{m}}^2} - {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2})}}{{({{\rm{m}}^2} + {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2})}}$$\frac{{\left( {{\rm{m}} - {\rm{n}}} \right)({{\rm{m}}^2} + {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2})}}{{({{\rm{m}}^2} - {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2})}}$+$\frac{{2{{\rm{n}}^3}}}{{{{\rm{m}}^4} - {{\rm{m}}^2}{{\rm{n}}^2}{\rm{\: }} + {{\rm{n}}^4}}}$

= $\frac{{{{\rm{m}}^3} + {{\rm{n}}^3} + {{\rm{m}}^3} - {{\rm{n}}^3}}}{{({{\rm{m}}^2} + {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2})({{\rm{m}}^2} - {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2})}}$+ $\frac{{2{{\rm{n}}^3}}}{{{{\rm{m}}^4} - {{\rm{m}}^2}{{\rm{n}}^2}{\rm{\: }} + {{\rm{n}}^4}}}$

=$\frac{{2\left( {{\rm{m}} + {\rm{n}}} \right)\left( {({{\rm{m}}^2} - {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2}} \right)}}{{({{\rm{m}}^2} + {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2}){\rm{\: }}({{\rm{m}}^2} - {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2})}}$

= $\frac{{2\left( {{\rm{m}} + {\rm{n}}} \right)}}{{({{\rm{m}}^2} + {\rm{mn\: }} + {{\rm{n}}^2})}}$

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